Задача: В молодежном движении «Ихние» состоят 2012 мальчиков и 2012 девочек. Каждый из участников движения не более двух раз принимал участие в митингах в поддержку стабильности. Известно, что каждый мальчик вместе с каждой девочкой посетил, по крайней мере, один митинг. Докажите, что был митинг, в котором принимали участие хотя бы 2012 человек.
Решение: Очевидно, каждый участник движения участвовал хотя бы в одном митинге. Если был мальчик, участвовавший только в одном митинге, то в этом митинге участвовали все девочки, и задача решена. То же, если была такая девочка. Рассмотрим случай, когда каждый участник движения участвовал в двух митингах. Пусть Вася участвовал в митингах А и Б. Допустим, есть Петя, участвовавший в митингах В и Г, отличных от А и Б. Тогда каждая девочка участвовала в одном из митингов А и Б и в одном из митингов В и Г. Но тогда митингов было всего четыре, и если на каждом было не больше 2011 человек, то общее количество «человеко-выходов» на митинги будет не больше 4⋅2011, а оно равно 4⋅2012 — противоречие. Стало быть, в одном из митингов А и Б участвовали не только каждая девочка, но и каждый мальчик, и если на каждом было не больше 2011 человек, то общее количество «человеко-выходов» на митинги А и Б было не больше 2⋅2011, а оно по крайней мере 2⋅2012 — снова противоречие.
