Игорь Арнольд родился в г. Харькове в дворянской семье. Его отец и мать имели высшее образование и оба работали земскими статистиками. В связи с болезнью отца в 1908 г. семья выезжает за границу в Швейцарию.

В Швейцарии Игорь Арнольд учится в начальной школе Цюриха. Затем мать с Игорем переезжает в Германию (1912 г.), а в 1913 г. – в Одессу, где Игорь Арнольд учится в четвертой одесской гимназии (1914–1918). В 1918 г. семья получила из-за границы известие о смерти отца.

С 1918 по 1921 г. И.В. Арнольд – студент Новороссийского университета математического отделения. После окончания III курса он поступил работать в канцелярию и библиотеку.

В Одессе И.В. Арнольд увлекается лекциями известных профессоров В.Ф. Кагана, Н.Г. Чеботарева (1894–1947) и С.О. Шатуновского (1859–1929). Овладев языками немецким, французским, английским, итальянским и латинским, Игорь Владимирович целиком погружается в изучение мировой математической культуры. Он выступает в университете с докладами методологического характера: «О законе исключенного третьего» (1921 г.), «О внутренней наглядности в математике» (1923 г.).

В 1922–1924 гг. И.В. Арнольд становится преподавателем математики на рабфаках Одесского высшего сельскохозяйственного и Политехнического институтов. Здесь он творчески овладевает методикой рационального обучения математике.

В 1924 г. И. В. Арнольд переезжает в Москву и поступает на III курс математического отделения Московского университета. Он окончил университет в 1929 г., защитив дипломную работу на тему «Идеалы в коммутативных полугруппах».

В 1929–1932 гг. Игорь Владимирович – аспирант Научно-исследовательского института при МГУ. Здесь он проявляет большую творческую активность, участвуя в семинаре проф. А.Я. Хинчина по теории чисел и в семинаре по вопросам современной алгебры, который проводила известная алгебраист профессор Эмми Нетер (1882–1935) во время ее пребывания в Москве. Одновременно он участвует в семинаре по методам математики секции естественных наук Комакадемии под руководством проф. С.А. Яновской (1896–1966).

С 1933 г. И.В. Арнольд – ассистент, позднее доцент и, наконец, и. о. профессора математики Физического института МГУ.

Одновременно он начал читать лекции по теории чисел и теоретической арифметике в Московском педагогическом институте имени А.С. Бубнова (ныне имени В.И. Ленина). В 1935 г. И.В. Арнольд был утвержден в ученой степени кандидата физико-математических наук.

В 1941 г. в июне в Ученом совете Московского педагогического института имени А.С. Бубнова он защитил диссертацию на ученую степень доктора педагогических наук по методике математики. Предметом защиты была рукопись «Теоретическая арифметика», 480 стр., изданная в 1938 г. в качестве пособия для математических отделений физмата педагогических институтов. В предисловии автор писал: «Изложение теории натурального числа и последовательное проведение операторной точки зрения позволяют, по моему мнению, осветить возникающие в связи с указанной установкой методические вопросы с большей ясностью, нежели это было бы возможно в пределах классических формальных теорий. Кроме того, я считал, что с точки зрения интересов читателя здесь следовало предпочесть проникнутое определенным мировоззрением изложение более, быть может, легкому и менее ответственному сухому перечислению математических фактов. В этих двух обстоятельствах я видел достаточное оправдание для включения указанных выше вопросов и указанных методов изложения в книгу, предназначенную для заполнения весьма существенного пробела в нашей учебной литературе». До этой работы И.В. Арнольда в России и СССР не было работ по теоретической арифметике, отражающих современные математические идеи, тогда как «Теоретическая арифметика» И.В. Арнольда построена на «множественной идее»; в ней систематически изложена идея развития понятия числа от натурального до кватернионов и гиперкомплексных чисел. В работе особое внимание уделено теории построения действительного числа – по Кантору, по Дедекинду и по Вейерштрассу.

Опираясь на работу И.В. Арнольда «Теоретическая арифметика», курс в педагогических институтах стал преподаваться на более высоком научно-педагогическом уровне. Не удивительно, что в 1939 г. эта книга выходит вторым изданием. В предисловии ко второму изданию сказано: «В 1938 г. была принята новая программа по курсу теории чисел для педвузов, по объему выходящая за пределы двух последних глав, данных в первом издании настоящей книги.. В силу этого оказалось целесообразным выделить эти две главы с соответствующими добавлениями в отдельную книгу «Теория чисел»... В новом издании «Теоретическая арифметика» осталась почти без изменений. Подверглись лишь большей систематизации вопросы аксиоматики числовых систем рациональных и действительных чисел...»

Война 1941 г. заставила И.В. Арнольда уехать с семьей в г. Магнитогорск. Там он стал заведующим кафедрой; там же получил документ о присвоении ему степени доктора педагогических наук по методике математики.

После возвращения в 1944 г. в Москву И.В. Арнольд был избран по конкурсу заведующим кафедрой высшей математики Московского института стали. Одновременно он по совместительству читал лекции на физическом факультете МГУ и был зачислен старшим научным сотрудником Академии педагогических наук. С этого времени И.В. Арнольд вплотную занялся разработкой проблем методики математики. Его работа в этой области в основном связана с постановкой арифметики и алгебры и с более совершенной научно-педагогической подготовкой преподавателей математики.

В 1945 г. на первых выборах в Академию педагогических наук избраны в члены-корреспонденты А.И. Маркушевич, Н.Ф. Четверухин и первый доктор педагогических наук И.В. Арнольд. Ему при выборах была дана яркая характеристика от имени математиков и педагогов-математиков Москвы проф. С.А. Яновской.

В 1946 г. в 4-м выпуске «Известий АПН» выходит работа И.В. Арнольда «Принципы отбора и составления арифметических задач». В этой работе автор пишет: «Начнем с вопроса, в разрешении которого рутинность проявляется на практике с особенной рельефностью. ...Мы имеем в виду фабулу или оформление задачи, естественность постановки вопроса (в задаче) и подбора числовых данных. Принято считать, что все это имеет второстепенное значение... Отсутствие заботы о фабуле приводит в итоге к нагромождению задач с искусственными, подчас прямо смехотворными условиями, лишь по чисто внешним признакам, имеющим реальную оболочку. Хуже всего то, что обилие задач, заставляющих учащегося на протяжении нескольких лет обучения пережевывать один и тот же традиционный материал, неминуемо навевает скуку, переходящую в отвращение к арифметике...» Далее автор дает примеры наивных и ненужных задач, которые вошли в школьную традицию.

Резюмируя, автор говорит: «Основными целями преподавания арифметики в средней школе являются: а) создание у учащихся отчетливых представлений и одновременно закрепление твердых навыков, относящихся к области рациональных операций над рациональными числами; б) ознакомление учащихся с соответствующими элементарными функциональными зависимостями между величинами...

Основными целями решения «текстовых» арифметических задач... являются:

а) создание и закрепление отчетливых представлений, относящихся к конкретным случаям охарактеризованных только что зависимостей между величинами;

б) воспитание умения ориентироваться в разнообразных возможных соотношениях между данными и искомыми величинами на основе естественного хода логического рассуждения, опирающегося на диктуемые здравым смыслом соображения о взаимной обусловленности соответствующих числовых данных;

в) создание и закрепление навыков составления и оперирования величинами...» И дальше автор дает таблицу простейших элементов, входящих в состав арифметических задач.

В 1946 г. в журнале «Математика в школе» появляется краткая статья И.В. Арнольда «О задачах по арифметике», в которой он излагает свое педагогическое исследование. Еще дальше в Большой советской энциклопедии появляются отдельные статьи И.В. Арнольда на термины: «Число», «Умножение» и в Малой советской энциклопедии – «Алгебра».

В 1947 г. в № 4 «Известий АПН» помещена работа И.В. Арнольда «Операторное истолкование числа в курсе элементарной математики». Автор статьи приходит к заключению:

«1) Для устранения целого ряда существеннейших дефектов (рассмотренных выше) в преподавании элементарной арифметики и алгебры и для создания естественной координации между формальным математическим аппаратом и конкретными представлениями учащихся необходимо и целесообразно в вопросах, касающихся операций умножения и деления дробей и отрицательных чисел, а также в изложении теории комплексных чисел, теории действий над радикалами и дробными показателями и в изложении теории логарифмов, вести преподавание в тесной связи с конкретным операторным истолкованием чисел. В этом направлении следует переработать соответствующие отделы во всех стандартных учебных пособиях, включая и сборники упражнений.

2) Для устранения из учебного обихода случайно ставших традиционными, чуждых русскому языку оборотов речи, крайне затрудняющих преподавание, следует ввести в начальной стадии преподавания в качестве стандартного способа запись множителя на первом, а множимого на втором месте...»

В 1947 г появляется в издании АПН в серии «Педагогическая библиотека учителя» работа И.В. Арнольда «Отрицательные числа в курсе алгебры». В работе содержится:

§ 1. Введение, в котором показаны психологические трудности, испытываемые учащимися при традиционном формальном введении учения об отрицательных числах.

§ 2. Повышение теоретического уровня, доступного учащимся при изучении раздела теории отрицательных чисел.

В § 3 автор обращает особое внимание на мотивировку определений с помощью принципа перманентности; в § 4 и 5 автор конкретизирует истинный смысл введения отрицательных чисел; в § 6 положительные и отрицательные числа рассматриваются как характеристики изменения величин. Такое представление о числах было впервые введено в методику А.Н. Шапошниковым и разработано в учебнике «Начальной алгебры» П.С. Александрова и А.Н. Колмогорова. § 7 дает конкретное истолкование правил знаков при умножении чисел.

Далее обращено внимание на методику изложения учения об отрицательных корнях уравнения и отрицательных показателях. Основное внимание И.В. Арнольда направлено на то, чтобы сделать введение в мышление учащихся идеи отрицательного числа убедительным, показав целесообразность и научную пользу этого понятия, а также на то, чтобы усвоение этих понятий учениками было сознательным.

Последней работой И.В. Арнольда явилась его методическая статья «Показатели степени и логарифмы в курсе элементарной алгебры» (1948 г.). В ней автор систематически развивает учение о показательной и логарифмической функции, дав методически последовательное и обоснованное изложение темы: от введения показателей он рекомендует сделать скачок к новой ступени абстракции – введению дробных показателей, затем, объяснив необходимую теорию действительного числа, переходить к понятию предела последовательности чисел и на этой базе строить учение о показательной функции, а от нее идти к логарифмам.

Коротка была жизнь замечательного ученого методиста математики: три года (1945–1948), когда он вплотную занялся этими вопросами, оставили яркий след в развитии передовых идей в методике. Перегрузка занятиями вызвала переутомление, И.В. Арнольд надорвал свое здоровье и попал в больницу. Он умер, оставя незавершенной часть своих работ.