Сын известного советского востоковеда Льва Рафаиловича Концевича. Учился в математическом классе московской школы № 91. Закончил мехмат МГУ в 1985 году и, проработав несколько лет в Институте Проблем Передачи Информации, получил кандидатскую степень в 1992 в Боннском Университете (Германия) под руководством Дона Цагира. Он был немедленно приглашён работать в самые престижные университеты планеты (Принстон, Беркли и Гарвард). В настоящее время Максим Концевич — постоянный профессор Института Высших Научных Исследований под Парижем и distinguished visitor Университета Ратгерса в США.

Исследования Максима Концевича затрагивают фундаментальные вопросы современной физики. По утвержению одного из ведущих специалистов в теории суперструн Брайана Грина, Максим Концевич своими работами вывел эту теорию из тупика. Концевич дал математически строгую формулировку интегралов Фейнмана для топологической теории струн через введённое им понятие пространства модулей стабильных отображений.

Теория узлов, тесно связанная с попытками объединить теорию суперструн с общей теорией относительности, также является сферой успешных работ Концевича. В частности ему удалось представить все инварианты Васильева в виде (хорошего) мультипликативного интеграла и сконструировать так называемый универсальный инвариант Васильева.

Максим Концевич также известен своими очень важными работами по деформационному квантованию пуассоновых многообразий и гомологической зеркальной симметрии.

Интересные факты

* Максим Концевич, «перепрыгнув» через класс средней школы, оказался самым молодым студентом на своём курсе.
* Ежегодно побеждая во Всесоюзных математических олимпиадах, Максим Концевич заслужил право поехать на Международную олимпиаду в 1980, в единственный год, когда Международная олимпиада не проводилась.
* Пока студенты-третьекурсники изучали применение 4-мерного пространства Минковского для нужд специальной теории относительности, Максим писал статью о 26-мерном пространстве в теории суперструн.
* Очень немногие математики удостоились чести дать своё имя интегралу. Максим Концевич как автор интеграла Концевича оказался в ряду таких знаменитостей как Риман, Лебег, Стилтьес и Гаусс.
* В 2000 году Американское Математическое Общество решило провести историческую конференцию наподобие II математического конгресса 1900 года, где Гильберт аннонсировал свои знаменитые проблемы. На конференцию «Важнейшие математические проблемы XXI века» куда были приглашены 30 ведуших математиков мира, Максим Концевич был приглашён первым.