v Добавить материал
v Справочник по математике
v Головоломки со спичками
v Вопросы посетителям

Главная

ЕГЭ 2015

ЧАТ

ПРИМЕРЫ

RSS
МАТЕРИАЛЫ

ОГЭ 2015

ТЕСТЫ

Связь



Привет, Гость

Ваша группа: Гости
Вход на сайт | Регистрация
Онлайн всего: 4
Гостей: 4
Пользователей: 0
Занимательная
математика
Высшая
математика
Школьная
математика
История
математики
Математика
для малышей
Реклама
Здесь может быть Ваша реклама, подробнее...

Разное

Аналитическая геометрия. Введение

Аналитическая геометрия, раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Создание аналитической геометрии обычно приписывают Р.Декарту, изложившему ее основы в последней главе своего трактата Рассуждение о методе, озаглавленной Геометрия (1637). Однако сам метод был известен П.Ферма еще в 1629, о чем свидетельствует его переписка. Аналитическая геометрия стала неоценимым подспорьем для математического анализа, изобретенного вскоре Ньютоном (1665–1666) и Лейбницем (1675–1676).

Методы аналитической геометрии применимы к фигурам на плоскости и к поверхностям в трехмерном пространстве, а также допускают естественное обобщение и на пространства более высоких размерностей. Мы начнем с аналитической геометрии на плоскости.

Сущность метода координат состоит в следующем. На плоскости задаются две взаимно перпендикулярные прямые (координатные оси), пересекающиеся в точке О, называемой началом координат. Одна из них – ось x, или ось абсцисс, обычно выбирается горизонтальной, другая – ось y, или ось ординат, – вертикальной. Справа от O выбирается точка, у которой ставится отметка 1. Если принять отрезок от O до 1 за единицу длины, то откладывая последовательно этот отрезок вдоль прямой, мы получаем числовую ось. Считается, что эта ось продолжается вправо до бесконечности. Точки на оси x слева от O помечаются отрицательными числами, как на шкале термометра. Например, точка -2 расположена от точки O слева на таком же расстоянии, как точка 2 справа. Аналогичным образом с той же единицей длины размечается и ось y. Положительные числа располагаются выше точки O, отрицательные – ниже.

Пусть P – любая точка на плоскости с заданной системой координат, Q – основание перпендикуляра, опущенного из P на ось x, а R – основание перпендикуляра, опущенного из P на ось y. Положение точки P полностью определяется двумя числами, называемыми координатами x и y. Первая координата указывает положение точки Q на оси x, вторая – положение точки R на оси y. На рис. 1 положение точки P полностью определяется ее координатами (2,3).

Основная задача аналитической геометрии заключается в изучении геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы. Любую фигуру можно рассматривать как множество точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию. Это условие можно записать в виде алгебраического уравнения, связывающего координаты x и y каждой точки фигуры. Суть метода аналитической геометрии состоит в изучении свойств фигуры с помощью соответствующего уравнения, исследуемого средствами алгебры. Этот метод позволяет устанавливать геометрические факты систематичным образом, в отличие от традиционной «синтетической» геометрии, где приходилось изобретать методы доказательства для каждого отдельного случая.

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точками P1 = (x1,y1) и P2 = (x2,y2). Числа x1, y1, x2 и y2 могут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 2 все числа выбраны положительными. Проведем через точку P1 горизонтальную прямую, а через точку P2 – вертикальную. Пусть R – точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

Рис. 2. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ можно найти, если построить прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Расстояние между точками P1 и P2 устанавливается по теореме Пифагора.Рис. 2. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ можно найти, если построить прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Расстояние между точками P1 и P2 устанавливается по теореме Пифагора.

Рис. 1. ДВЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ, называемые осью x и осью y, составляют основу для большинства операций в аналитической геометрии на плоскости. Именно они позволяют использовать алгебраические средства в геометрии и геометрические – в алгебре. Будучи снабженными шкалами, они представляют координаты точки. Например, точка P имеет координату x, равную 2, и координату y, равную 3.

откуда

d 2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2.

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками.

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки P1 и P2. Например, если точка P2 расположена ниже точки P1 и справа от нее, как на рис. 3, то отрезок RP2 можно считать равным y1 – y2, а не y2 – y1. Расстояние между точками, вычисляемое по формуле, от этого не изменится, так как (y1 – y2)2 = (y2 – y1)2. Заметим, что так как величина y2 в этом случае отрицательна, разность y1 – y2 больше, чем y1, как и должно быть.

СТАТЬЯ В РАЗРАБОТКЕ

Просмотров: 9587 | Добавил: Antil (23.09.2010) | Коментариев: 0

Рекомендуем посмотреть
Три детектива
Винер Норберт
Задание C3 №13 с решением
Задачи "Кенгуру". ...
Адамс Джон Кауч
24. Список литературы
Художественно-технологически...
Задача ЕГЭ. B-10. Футбольный...
Парадокс узника
Две крестьянки

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Главная | Заработать | Авторские права | Наши партнеры | Обратная связь
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика
http://free-math.ru (с) 2010-2017 гг. Дизайн от MirPS. Хостинг от uCoz.
Свободная Mатематика - сайт о математике, математиках и для математиков.
Олимпиады по математике, справочники по математике, занимательная математика, школьная математика, высшая математика, история математики, математика для малышей, математический форум для учащихся и преподавателей.