1. Найдите хотя бы одно натуральное число, сумма всех
делителей которого
(исключая само это число) равна 1997.
2. Квадратный ящик со стороной 10 разбит на
квадратные ячейки со стороной 1,
в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно
один из
них радиоактивен. Имеется детектор, которым можно накрыть любые четыре
ячейки,
образующие квадрат 2*2, и он покажет, имеется ли в этих ячейках
радиоактивный
шар. Можно ли за 24 проверки наверняка найти этот шар?
3. За круглым столом сидят 12 человек,
некоторые из которых всегда говорят
только правду (назовем их рыцарями), а остальные всегда лгут (назовем их
лжецами). Каждый из сидящих за столом произнес: "Напрротив меня сидит
лжец".
Сколько всего лжецов сидит за столом?
4. Даны положительные числа a, b и
с такие, что
a2=11, b2=13, c2=48.
Верно
ли, что a+b=c?
5. Пусть M - точка пересечения медиан
треугольника ABC.
Известно, что вписанные в треугольники ABM, BCM и CAM
круги равны и попарно касаются друг друга. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
6. Пусть N - число способов разбиения
квадрата на прямоугольники 2*1.
Докажите, что N делится на 2.
