1. Пусть M - точка пересечения медиан
треугольника ABC.
Известно, что вписанные в треугольники ABM, BCM и CAM
круги равны и попарно касаются друг друга. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
2. Пусть N - число способов разбиения
куба на прямоугольные
параллелепипеды 2*1*1. Докажите, что N делится на 3.
3. Даны числа a2, b2,
c2 (a, b и с - положительные
числа).
Разрешается выполнять операции сложения, вычитания и умножения, а также
запоминать любое количество промежуточных результатов и сравнивать их
между
собой. Можно ли, используя только эти операции, проверить справедливость
равенства a+b=c?
4. Квадратный ящик со стороной 1997 разбит на
квадратные ячейки со стороной
1, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но
ровно один
из них радиоактивен. Имеется детектор, которым можно накрыть любые
четыре
ячейки, образующие квадрат 2*2, и он покажет, имеется ли в этих ячейках
радиоактивный шар. За какое наименьшее число таких проверок можно
наверняка
найти этот шар?
5. В треугольнике ABC на стороне AC
существует единственная
точка D, такая, что BD2=AD*CD.
Докажите,
что BD - биссектриса угла ABC.
6. Докажите, что для любых положительных a
и b выполняется
неравенство
(1/(a+b))+(1/a)+(1/b) > (5/2)/(ab)1/2 .
.