Чтобы посмотреть решение нужно выделить мышкой область под задачей. (Решение написано цветом фона)
1. На доске было записано в ряд несколько натуральных чисел. Коля заменил все их циф-ры буквами, причём одинаковые цифры — одинаковыми буквами, а разные — разными. У него получилось: Т, ЕЛ, ЕК, ЛА, СС. Восстановите исходные числа, если известно, что разность между каждым числом (кроме первого) и предыдущим числом — одна и та же. Ответ обоснуйте.
Решения нет.
2. В таблице 3x3 расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате 2x2 равно 2. Какое число стоит в центре?
Обозначим числа в квадратной таблице а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8, а9. Так как произведение чисел в любом квадрате 2x2 равно 2, то, перемножив четыре таких произведения, получим а1а22а3а42а54а62а7а82=16. С другой стороны, (а1а2а3)(а4а5а6)2(а7а8а9)(а2а5а8) = 15 = 1. Значит, в центре стоит число а5 = 16.
3. Есть три картонных треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Саша взял себе один из них, а Боря — два оставшихся. Оказалось, что Боря может прило-жить свои треугольники друг к другу так, что получится треугольник, равный Сашиному. Какой из треугольников взял Саша?
Из условия следует, что Борин треугольник можно разрезать на два треугольника, равных Сашиным. Очевидно, такой разрез должен проходить через вершину Бориного треуголь-ника. Тогда углы двух Сашиных треугольников, примыкающие к противоположной сто-роне Бориного, будут смежными, и один из них будет тупым (два прямых невозможны по условию). Значит, один из Сашиных треугольников — тупоугольный. Допустим, второй Сашин треугольник — прямоугольный. Но тогда его прямой угол должен быть углом ли-бо частью угла Бориного треугольника, то есть Борин треугольник — остроугольный или тупоугольный, что противоречит условию. Значит, второй Сашин треугольник — остро-угольный, а Борин треугольник — прямоугольный.
4. В треугольнике ABC середина биссектрисы BL совпадает с серединой отрезка MH, со-единяющего основания высоты AH и медианы CM. Найдите углы треугольника.
Поскольку в четырёхугольнике BMLH диагонали делятся точкой пересечения пополам, то он — параллелограмм. Следовательно, ML || BC. Поскольку CM — медиана, ML — сред-няя линия треугольника ABC. Но тогда L — середина стороны AC, и LH || AB — тоже средняя линия. Получается, что биссектриса BL и высота AH одновременно являются ме-дианами, откуда AB = BC = AC, то есть все углы треугольника ABC равны 60o.
5. Электронный секундомер показывает время от 0.00.00 до 9.59.59. Его включили, и он проработал 10 часов подряд. Сколько времени на его табло горели числа с суммой цифр, большей 18?
Ответ: 5 часов. Решение. Сопоставим каждой секунде от 0.00.00 до 9.59.59 «симметрич-ную», которая получится, если заменить все её цифры их дополнениями до 9 для первой, третьей и пятой цифр и до 5 — для второй и четвёртой. Легко видеть, что все эти секунды разбиваются на пары «симметричных» (например, 2.03.18 и 7.56.41), причём в каждой па-ре у одного из двух чисел пары сумма цифр больше 18, а у другого — меньше (потому что сумма всех цифр чисел каждой пары равна 9+5+9+5+9 = 37). Таким образом, секунд с суммой цифр, большей 18, — ровно половина, откуда и получается ответ.
