(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.)
1. У Алеши есть пирожные, разложенные в несколько коробок. 3б Алеша записал, сколько пирожных в каждой коробке. Сере- жа взял по одному пирожному из каждой коробки и положил их на первый поднос. Затем он снова взял по одному пи- рожному из каждой непустой коробки и положил их на вто- рой поднос - и так далее, пока все пирожные не оказа- лись разложенными по подносам. После этого Сережа записал, сколько пирожных на каждом подносе. Докажите, что количество различных чисел среди записанных Алешей равно количеству различных чисел среди записанных Сере- жей. (А.Буфетов)
2. Решите систему уравнений (n>2) 3б корень из x_1 + корень из (x_2 + ... + x_n) = корень из x_2 + корень из (x_3 + ... + x_n + x_1) = корень из x_3 + корень из (x_4 + ... + x_1 + x_2) = ................................................... корень из x_n + корень из (x_1 + ... + x_(n-1)) x_1 - x_2 = 1. (Б.Френкин)
3. В окружность радиуса 2 вписан тридцатиугольник A_1A_2 4б ... A_{30}. Докажите, что на дугах A_1A_2, A_2A_3, ... , A_{30}A_1 можно отметить по одной точке (B_1, B_2, ... , B_{30} соответственно) так, чтобы площадь шести- десятиугольника A_1B_1A_2B_2 ... A_{30}B_{30} численно равнялась периметру тридцатиугольника A_1A_2 ... A_{30}. (Г.Гальперин)
4. Существует ли арифметическая прогрессия из пяти 4б различных натуральных чисел, произведение которых есть точная 2008-я степень натурального числа? (Г.Гальперин)
5. На клетчатом листе бумаги нарисованы несколько прямоу- 4б гольников, их стороны идут по сторонам клеток. Каждый прямоугольник состоит из нечетного числа клеток, и ни- какие два прямоугольника не содержат общих клеток. До- кажите, что эти прямоугольники можно раскрасить в 4 цвета так, чтобы у прямоугольников одного цвета не было общих точек границы. (А.Грибалко)
