Артур Кэли родился в Ричмонде (Лондон, Англия). Его отец Генри Кэли был дальним родственником сэра Джорджа Кэли — новатора в авиации, который ведёт род от древней семьи Иоркшир. Он торговцем поселился в Санкт-Петербуге (Россия). Его мать, Мария Антония Доти, была дочерью Вильяма Доти. Согласно некоторым источникам, она была русской, хотя имя отца говорит об английском происхождении. Его брат, Чарльз Багот Кэли, был лингвистом.

Артур провел свои первые восемь лет в Санкт-Петербурге. В 1829 году его родители переехали в БлэкХэлс (вблизи Лондона). Артур пошел в частную школу.

Ещё когда Кэли был ребенком, он решал сложные математические задачи ради забавы.

В 14 лет он пошел в лондонскую королевскую школу. Школьный учитель увидел в мальчике гения и посоветовал отцу не учить своему бизнесу, как он намеревался, а готовить к поступлению в кембриджский университет.

Образование

В необыкновенно раннем возрасте 17 лет Кэли поступил в кембриджский Тринити-колледж. В то время Аналитическое общество (Analytical Society) процветало, и Грегори и Лесли Еллис основали кембриджский математический журнал. В возрасте 20 лет Кэли передал этому журналу три рукописи на темы навеянные чтением Mécanique analytique Лагранжа и некоторыми работами Лапласа.

Кэли закончил свое стеденческое образование выигрываением приза Senior Wrangler и первый приз Смита. Его следущим шагом было получение степени Master of Arts (MA degree), и получение стипендии. Его наставником в кембридже был Джордж Пикок, а его личным тренером был Вильям Хопкинс. Он продолжил пребывать в кембридже в течение 4 лет. В это время он взял себе несколько учеников, но его основной работой была подготовка 28 мемуаров для математического журнала.

Адвокат Артур Кэли

В связи с тем, что стипендия не вечна, было необходимо выбирать профессию. Как и де Морган, Кэли выбрал профессию адвоката, и в возрасте 25 лет вошел в лондонский Дом Линкольна. Он выбрал специальность связанную с транспортировкой. Когда он был учеником, и сдавал адвокатский экзамен, он ездил в Дублин слушать лекцию Гамильтона про кватернионы.

Его друг Сильвестр, старший его на 5 лет, и занимался финансовыми влияниями в рисках и неопределенностях. У них было привычкой гулять вместе вокруг двора Дома Линкольна, обсуждая теорию инвариантов и ковариантов. В течение этого периода его жизни, длящегося примерно 14 лет, Кэли выпустил от 200 до 300 работ.

Профессор Артур Кэли

В кембриджском университете в давние времена профессорство чистой математики называлось Лукасиан, эту должность некогда занимал Исаак Ньютон. Примерно в 1860 году несколько фондов, завещанных Лэди Сэдлер университету, ставшие бесполезными для их настоящей цели, были использованы для основания еще одной профессорской должности, названной Садлериан. В обязанности нового профессора входило объяснять и обучать принципам чистой математики, и продвижение науки. На эту должность Кэли был избран, когда ему было 42 года. Он оставил доходную практику ради скромной зарплаты, но он сам никогда об этом не жалел.

Должность профессора позволила ему прекратить разделять верность к юриспруденции с верностью к математике; и позволила ему полностью заняться любимым делом. Сразу же после этого Кэли женился и поселился в Кембридже.

Более удачно чем у Гамильтона, дом Кэли был полон счастья. Его друг и приятель исследователь Сильвестер, однажды, отметил, что Кэли более удачен, чем он сам; они оба были бакалаврами и вместе жили в лондоне, но Кэли женился и поселился в Кембридже с его тихой и мирной жизнью.