При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
Определение 1.Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде
или ,
Числа т и п называются порядками матрицы. При этом говорят, что матрица А имеет размер mn. Числа aij, составляющие матрицу, называются ее элементами. В записи aij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца.
Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || aij|| , а иногда с разъяснением:
А = || aij|| = ( aij), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).
Пример 1.1. Замечание 1.На сайте будут рассматриваться матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются, например, функции или векторы. Определение 2.Матрица размера 1n, состоящая из одной строки, называетсяматрицей – строкой. Определение 3.Матрица размера m1, состоящая из одного столбца, называется матрицей– столбцом. Определение 4.Нулевой матрицейназывается матрица, все элементы которойравны нулю.Определение 5.Квадратной матрицей называется матрица, у которой m = n
Для квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Частные виды квадратных матриц
Диагональная матрица
Определение 6.Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю
Единичная матрица
Определение 7.Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной
Треугольная матрица
Определение 8.Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:
Определение 9.Двематрицы одного и того же размера называются равными, если равны все ихсоответственные элементы.
2. Действия над матрицами
Транспонирование матрицы
Определение 10.Матрица, полученная изданной заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированнойк данной. Матрицу,транспонированную к А, обозначают АТ.
Пример 2.1. Для матрицы
Найти транспонированную к ней матрицу АТ. Решение: По определению транспонированной к данной матрице А будет являться матрица
.
Сложение матриц
Замечание 2.Операция сложения определена только для матрицодинакового размера. Определение 11.Суммой двух матрицА=(аij)и В=(bij) одинакового размераназывается матрица С=(сij)того же размера, элементыкоторой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. сij=aij+bij. Обозначается сумма матриц А + В.
Пример 2.2. Даны матрицы
,
Найти матрицуА + В. Решение: .
Разность матриц
Замечание 3.Операция разности определена только для матрицодинакового размера. Определение 12.Разностью двух матрицА=(аij)и В=(bij) одинакового размераназывается матрица С=(сij)того же размера, элементыкоторой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. сij=aij - bij. Обозначается сумма матриц А - В.
Пример 2.3. Даны матрицы
,
Найти матрицуА - В. Решение:
Умножение матрицы на число
Определение 13.Произведением матрицыА=(аij)на число k называется матрица В=(bij)того же размера со следующими элементами: bij=kaij.
Пример 2.4. Дана матрица
.
Найти матрицуАk, еслиk=2.
Решение: .
Определение 14.Матрица -А=(-1)Аназываетсяпротивоположной матрице А.
Пример 2.5. Дана матрица
,
Найти матрицу,противоположную матрице А.
Решение: По определению противоположной матрицей к данной матрице А будет являться матрица:
.
Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
А + В = В + А;
А + (В + С) = (А + В) + С;
А + 0 = А;
А - А = 0;
1 × А = А;
k× (А + В) = kА + kВ;
(k + l) × А = kА + lА;
k × (lА) = (kl) × А;
(А + В)Т = АТ + ВТ где А, В и С - матрицы, k и l - числа.
Произведение матриц
Замечание 4.Операция произведения определена только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Определение 15.Матрица А называется согласованнойсматрицей В , если число столбцов матрицы А равно числу строкматрицы В, т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m×n , матрицаВ имеет размер n×k . Квадратные матрицы согласованы, если они одногопорядка. Определение 16.Произведением матрицыА=(аij) размерности mn на матрицу B=(bij) размерности тk называется матрица C=(cij)размерности mk такая что: cik=ai1b1k+ai2b2k++ainbnk, где i=1,2,3,...,m, k=1,2,3,...,p, т.е элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы элементы k-го столбца матрицы B.
Пример 2.6. Дана матрицы
, .
Найти матрицуАB.
.
Свойства умножения матриц
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
А × (В × С) = (А × В) × С;
А × (В + С) = АВ + АС;
(А + В) × С = АС + ВС;
k × (АВ) = (kА) × В;
А × 0 = 0; 0 × А = 0;
(АВ)Т = ВТАТ;
(АВС)Т = СТВТАТ где А, В и С - матрицы, k и l - числа.
Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения.
Утверждение 1. Произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль - матрице.
Пример 2.7.
Пример 2.8. Даны матрицы Показать, что АВ ≠ ВА. Решение:
Определение 17.Если для каких - либо матриц А и В соотношение А×В=В×А выполняется, то матрицы А и В называются перестановочными. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
Пример 2.9.
Видно, что произведения А×Ви В×А не равны.
Утверждение 2. Единичная матрица и любая матрица той же размерности, что и единичная, являются перестановочными: А × Е = Е × А = А.
, 
.
