v Добавить материал
v Справочник по математике
v Головоломки со спичками
v Вопросы посетителям

Главная

ЕГЭ 2015

ЧАТ

ПРИМЕРЫ

RSS
МАТЕРИАЛЫ

ОГЭ 2015

ТЕСТЫ

Связь



Привет, Гость

Ваша группа: Гости
Вход на сайт | Регистрация
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Занимательная
математика
Высшая
математика
Школьная
математика
История
математики
Математика
для малышей
Реклама
Здесь может быть Ваша реклама, подробнее...

Разное

Линейная алгебра. Тема 1. Матрицы

Теоретические сведения

1. Основные понятия

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Определение 1.Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк  и n столбцов. Матрица записывается в виде
или ,

Числа т и п называются порядками матрицы. При этом говорят, что матрица А имеет размер mn.
Числа aij, составляющие матрицу, называются ее элементами. В записи aij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца.

Для  краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква  (например,
A),  либо символ  || aij|| ,  а иногда с разъяснением:
А = || aij|| =    ( aij), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).

Пример 1.1.

Замечание 1.На сайте будут рассматриваться матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются, например, функции или векторы.

Определение 2.Матрица размера 1n, состоящая из одной строки, называетсяматрицей – строкой.
Определение 3.Матрица размера m1, состоящая из одного столбца, называется    матрицей – столбцом.
Определение
4.
Нулевой матрицейназывается матрица, все элементы которойравны нулю.Определение 5.Квадратной матрицей называется матрица, у которой m = n

Для квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.Побочной диагональю той же матрицы называ­ется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.



Частные виды квадратных матриц
  • Диагональная матрица
Определение 6.Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю


  • Единичная матрица
Определение 7.Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной

  • Треугольная матрица
Определение 8.Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

 
 
Определение 9.Двематрицы одного и того же размера называются равными, если равны все ихсоответственные элементы.

2. Действия над матрицами

  • Транспонирование матрицы
Определение 10.   Матрица, полученная изданной заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированнойк данной.
Матрицу,транспонированную к А, обозначают АТ.


Пример 2.1.

Для матрицы
 
 Найти транспонированную к ней матрицу АТ.
Решение:
По определению транспонированной к данной матрице А будет являться матрица

.
  • Сложение матриц
Замечание 2.Операция сложения определена только для матрицодинакового размера.
Определение 11.Суммой двух матрицА=(аij)и В=(bij) одинакового размераназывается матрица С=(сij)того же размера, элементыкоторой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц,
т.е. с
ij=aij+bij.
Обозначается сумма матриц А + В.


Пример 2.2.

Даны матрицы
,
Найти матрицуА + В.
Решение:
 .

  • Разность матриц
Замечание 3.Операция разности определена только для матрицодинакового размера.
Определение 12.Разностью двух матрицА=(аij)и В=(bij) одинакового размераназывается матрица С=(сij)того же размера, элементыкоторой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц,
т.е. с
ij=aij - bij.
Обозначается сумма матриц А - В.


Пример 2.3.

Даны матрицы
,
Найти матрицуА - В.
Решение:
 

  • Умножение матрицы на число
Определение 13.Произведением матрицыА=(аij)на число k называется матрица В=(bij)того же размера со следующими элементами: bij=kaij.

Пример 2.4.

Дана матрица
.
Найти матрицуАk, еслиk=2.
Решение:
.

Определение 14.Матрица -А=(-1)Аназываетсяпротивоположной матрице А.

Пример 2.5.

Дана матрица
,
Найти матрицу,противоположную матрице А.
Решение:
По определению противоположной матрицей к данной матрице А будет являться матрица:
.


Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
  1. А + В = В + А;
  2. А + (В + С) = (А + В) + С;
  3. А + 0 = А;
  4. А - А = 0;
  5. 1 × А = А;
  6. k× (А + В) = kА + kВ;
  7. (k + l) × А = kА + lА;
  8. k × () = (kl) × А;
  9. (А + В)Т = АТ + ВТ
    где А, В и С - матрицы, k и l - числа.

  • Произведение матриц
Замечание 4.Операция произведения определена только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Определение
15.
Матрица А называется согласованнойсматрицей В , если число столбцов матрицы А равно числу строкматрицы В,
т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер
m×n , матрицаВ имеет размер n×k .
Квадратные матрицы согласованы, если они одногопорядка.


Определение
16.
Произведением матрицыА=(аij) размерности mn на матрицу B=(bij) размерности
тk называется матрица C=(cij)размерности mk такая что: cik=ai1b1k+ai2b2k++ainbnk, где i=1,2,3,...,m, k=1,2,3,...,p,
т.е элемент i-ой
строки и k-го столбца матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы элементы k-го столбца матрицы B.

Пример 2.6.

Дана матрицы
, .
Найти матрицуАB.

 .

Свойства умножения матриц

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

  1. А × (В × С) = (А × В) × С;
  2. А × (В + С) = АВ + АС;
  3. (А + В) × С = АС + ВС;
  4. k × (АВ) = () × В;
  5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;
  6. (АВ)Т = ВТАТ;
  7. (АВС)Т = СТВТАТ
    где А, В и С - матрицы, k и l - числа.
Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВВА даже если определены оба произведения.

                         
Утверждение 1. П
роизведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль - матрице.

Пример 2.7.


Пример 2.8.

Даны матрицы
Показать, что
АВВА.
Решение:

Определение 17.Если для каких - либо матриц А и В соотношение А×В=В×А выполняется, то матрицы А и В называются перестановочными.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Пример 2.9.


Видно, что произведения А×Ви В×А не равны.

Утверждение 2. Единичная матрица и любая матрица той же размерности, что и единичная, являются перестановочными: А × Е = Е × А = А.

  • Элементарные преобразования матриц
Определение 18.спва.


Примеры решения типовых задач



Практические задания



Просмотров: 32664 | Добавил: Mirinair (15.09.2010) | Коментариев: 0

Похожий материал

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Главная | Заработать | Авторские права | Наши партнеры | Обратная связь
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика
http://free-math.ru (с) 2010-2017 гг. Дизайн от MirPS. Хостинг от uCoz.
Свободная Mатематика - сайт о математике, математиках и для математиков.
Олимпиады по математике, справочники по математике, занимательная математика, школьная математика, высшая математика, история математики, математика для малышей, математический форум для учащихся и преподавателей.