Задача:
На плоскости дано семейство L, состоящее из 2012 прямых, среди которых нет параллельных и пересекающихся более чем по две в одной точке. Скажем, что прямая l1 принадлежит L ограничивает другую прямую l2 принадлежит L, если все точки пересечения прямой l2 с остальными прямыми из семейства L лежат по одну сторону от прямой l1. Докажите, что в семействе L найдутся две прямые l и l' такие, что прямая l ограничивает прямую l', а прямая l' не ограничивает прямую l.
Решение:
Будем называть отрезком отрезок выбранной прямой между двумя крайними точками ее пересечения с другими прямыми из L. Очевидно, что любые два отрезка имеют общую точку (возможно, конец). Тогда нам надо доказать, что конец одного из отрезков лежит между концами другого отрезка. Предположим, что это не так. Тогда любые два отрезка из 2012 либо имеют общий конец, либо пересекаются. Заметим, что тогда конец любого отрезка является концом другого отрезка, и каждый отрезок входит в замкнутую ломаную, образованную отрезками. Докажем, что в любой замкнутой ломаной, в которой каждое звено имеет общую точку с любым другим звеном, нечетное число звеньев. Для этого рассмотрим одно звено ломаной: его соседи идут в одну полуплоскость относительно это звена (потому что должны иметь общую точку), а следующие звенья должны пересекать первое, откуда из четности переходов в другую полуплоскость следует, что число звеньев нечетно.
Предположим, что есть замкнутая нечетная ломаная из отрезков, тогда никакая прямая не может пересекать все звенья этой ломаной (опять же из четности переходов в другую полуплоскость), а тогда никаких других отрезков у нас нет, то есть в этой ломаной все отрезки, но их 2012. Противоречие.
