Задача:
Какие целые числа можно представить в виде a3+b3+c3–3abc с целыми a, b, c?
Решение:
Число 9n получается из тройки n–1, n, n+1, число 3n+1 — из тройки n, n, n+1, число 3n–1 — из тройки n, n, n–1. Заметим теперь, что, поскольку кубы целых чисел дают при делении на 3 те же остатки, что и сами эти числа, a3+b3+c3–3abc делится на 3 тогда и только тогда, когда a+b+c делится на 3. А такое бывает только в двух случаях: когда все три остатка от деления a, b и c на 3 различны, и когда все они одинаковы. Легко проверить, что в обоих случаях a3+b3+c3–3abc делится на 9: достаточно представить каждое из чисел в виде 3*{неполное частное}+остаток, подставить в исходное выражение и раскрыть скобки.
Ответ:
Все, кроме чисел, делящихся на 3, но не делящихся на 9.
