МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №4. 24.02.2012 СТАРШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА, БОЙ ЗА 7 МЕСТО. ВТОРАЯ ЛИГА
1. Внутри параллелограмма ABCD с углом ABC, равным 105о, расположена точка M такая, что треугольник BMC — равносторонний и угол CMD = 135о. Точка K — середина стороны AB. Докажите, что угол BKC = 45о.
2. Обозначим через n количество упорядоченных пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих условию x2+xy+y2 ≤ 2012. Найдите остаток от деления n на 4.
3. Найдите все простые числа p и q такие, что pq–555p и pq+555q — точные квадраты.
4. В левой верхней клетке прямоугольной клетчатой поляны mхn сидят k ёжиков (k < m ≤ n). За один ход один из ёжиков переходит на одну клетку вправо или вниз. Через несколько ходов все ёжики собрались в правой нижней клетке. Каким может быть наименьшее количество клеток, не посещенных ни одним ёжиком?
5. На стене в ряд расположены n переключателей. Каждый может находиться в четырех положениях: влево, вправо, вверх или вниз. Если какие-то три переключателя подряд находятся в трех разных положениях, сумасшедший электрик переключает их в четвертое положение. Докажите, что он не может делать это бесконечно долго.
6. Даны положительные числа x, y и z. Докажите, что числа x+y+z–xyz и xy+yz+zx–3 не могут быть одновременно отрицательными.
7. В выпуклом четырехугольнике ABCD каждый из углов ADB, ACB, CAB и DBA равен 15о. Докажите, что из отрезков DB, CA и DC можно составить прямоугольный треугольник.
8. Два игрока по очереди выписывают числа на доску. Первый пишет +1 или –1, второй дописывает +2 или –2, первый — +3 или –3 и т.д. Игрок, после хода которого сумма выписанных чисел становится по модулю не менее 2012, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?
Еще примеры задач для математических боев Вы можете найти здесь.
