1. В числе 3141592653589793 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число.
Число тем больше, чем больше цифра старшего разряда. Чтобы число начиналось с 9, на до зачеркнуть первые пять цифр 3141592653589793. Осталось зачеркнуть еще 2 цифры. Зачеркивая 2, получаем на втором месте 6 (больше 6 нам получить не удастся). Чтобы вторая цифра числа была как можно больше, мы можем зачеркнуть только 2. Наибольшей цифрой из возможных на третьем и четвертом местах могут быть 5. Для этого нам надо зачеркнуть 3. Ответ: 965589793.
2. На доске было записано в ряд несколько натуральных чисел. Коля заменил все их циф-ры буквами, причём одинаковые цифры — одинаковыми буквами, а разные — разными. У него получилось: Т, ЕЛ, ЕК, ЛА, СС. Восстановите исходные числа, если известно, что разность между каждым числом (кроме первого) и предыдущим числом — одна и та же. Ответ обоснуйте.
Поскольку ЕЛ > Т, разность между каждым число и предыдущим положительна. Поэтому в ряду Т, ЕЛ, ЕК, ЛА, СС каждое следующее число больше предыдущего. Вычитая ЕЛ из ЕК, находим, что разность между соседними числами — число однозначное, равное К–Л. Значит, Е=1 (через десяток от 10 до 19 перескочить мы не можем), Л=2, С=3. Получаем ряд Т, 12, 1К, 2А, 33. Если к числу 12 прибавим 3 одинаковых разности, то получим 33, т.е. разность равна (33-12):3=7. Отсюда ответ: 5, 12, 19, 26, 33.
3. У ослика Иа-Иа есть 100 палочек. Длина каждой палочки — 1 см или 3 см. Докажите, что, сломав не более одной палочки, Иа-Иа сможет из всех палочек сложить прямоуголь-ник (ослик ломает палочку на две части).
Возьмем любые три палочки. Очевидно, среди них найдутся либо две палочки длины 1 см, либо две палочки длины 3 см. Сделаем их двумя противоположными сторонами прямо-угольника. Оставшиеся 98 палочек выложим в один ряд и разделим его ровно посередине, разломав, если нужно, палочку, на которую пришлась эта середина. Получим две другие стороны прямоугольника.
4. На скамейке сидят 10 детей. Может ли случиться, что между каждыми двумя мальчи-ками сидит чётное число детей, а между каждыми двумя девочками — нечётное число де-тей?
Ответ: Не может. Решение. Пронумеруем сидящих на скамейке слева направо. Пусть под номером 1 — девочка. Тогда на всех местах с чётными номерами сидят мальчики (ведь между первой девочкой и любым ребёнком под чётным номером — чётное число детей). Но между любыми двумя такими мальчиками — нечётное число детей, что противоречит условию. Значит, под номером 1 — мальчик. Тогда на местах 3, 5, 7, 9 — девочки. Две де-вочки не могут сидеть рядом (иначе между ними 0 детей — чётное число), поэтому на местах 2, 4, 6, 8 — мальчики. Но между любыми двумя из этих четырёх мальчиков — не-чётное число детей. Противоречие.
5. 5000 точек делят окружность на 5000 равных частей. Из этих 5000 точек 2006 точек по-красили в красный цвет. Докажите, что найдутся три красные точки, образующие равно-бедренный треугольник.
Пронумеруем данные точки по кругу и разобьём их на 1000 пятёрок: (1, 1001, 2001, 3001, 4001), (2, 1002, 2002, 3002, 4002), …, (1000, 2000, 3000, 4000, 5000). Заметим, что точки в каждой пятёрке делят окружность на пять равных частей. Кроме того, найдётся пятёрка, в которой хотя бы три точки — красные (иначе красных точек было бы не больше, чем 21000 = 2000). Хотя бы две из них (обозначим их А и В) стоят в пятёрке рядом. Если тре-тья (обозначим её С) стоит в пятёрке рядом с А или В, то АС = АВ или ВС = АВ, если же нет, то АС = ВС.
