Задача 1:
График линейной функции отсекает от второй координатной четверти
равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными
3. Найдите эту функцию.
Решение:
Данный график образует с осью абсцисс такой же угол в
45, как и биссектриса первого и третьего координатных углов.
Значит, ее угловой коэффициент равен 1. Поскольку при x = 0 значение
функции равно 3, то искомая функция есть y = x + 3.
Задача 2:
Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и
еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы.
Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1
тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему
все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собираетс
менять?
Решение:
Если у туриста было X рублей, то в банке ОГОГО он получит за них
(X – 7000)/3000 тугриков, а в банке ЙОХОХО X/3020 – 1 тугриков.
Решая уравнение (x – 7000)/3000 = X/3020 – 1, получаем X = 604000
(руб.).
Задача 3:
Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно
равно 0. Известно, что A² = B²(B – C). Какое из чисел положительно,
какое отрицательно и какое равно 0? Почему?
Решение:
Если A = 0, то либо B = 0, либо B – C = 0. Ни то, ни другое
невозможно. Поэтому A ≠ 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже
невозможно. Поэтому B ≠ 0. Следовательно, C = 0, и равенство из
условия задачи можно переписать в виде A² = B³. Отсюда следует, что
B³ > 0. Значит, B положительно, а A – отрицательно.
Задача 4:
ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB
по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC.
Найдите угол KCM.
Решение:
По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов CKA и KCA
равна углу CAB. Поскольку треугольник CAK – равнобедренный,
∠ KCA = ∠ CKA = ∠ CAB/2. Аналогично, ∠ BCM = ∠ BMC = ∠ CBA/2.
Таким образом,
∠ KCM = ∠ KCA + ∠ ACB + ∠ BCM = ∠ ACB + ( ∠ CAB + ∠ CBA)/2 = 90 + 45 = 135.
Задача 5:
Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные
числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти
выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A, а
суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников
равнялись одному и тому же числу B? Если да, то как? Если нет, то
почему?
Решение:
Покажем, что расставить числа требуемым образом нельзя.
Допустим, это удалось. Обозначим через X число, стоящее в центральном
кружочке. Все остальные числа стоят в кружочках, образующих два
пятиугольника. Поэтому X + 2B = 1 + … + 11 = 66, откуда X = 66 – 2B.
Значит, число X должно быть четным. Теперь сложим все суммы чисел,
стоящих на выходящих из центра отрезках. Получится 5A. При этом число
X будет сосчитано пять раз, а все остальные – по одному разу.
Поэтому 5A = 4X + (1 + … + 11) = 4X + 66 (*). Значит, число 4X + 66
должно делиться на 5. Этому условию среди чисел от 1 до 11
удовлетворяют только числа 1, 6 и 11, и при этом только число 6
четно. Следовательно, X = 6. Подставляя найденное значение X в
уравнение (*), находим, что A = 18. Стало быть, на каждом из пяти
выходящих из центра отрезков сумма двух чисел, стоящих там вместе с
числом X, должна равняться 18 – 6 = 12. Получается, что на одном
отрезке должны стоять числа 1 и 11, 2 и 10, 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7.
Заметим, что три из пяти перечисленных пар состоят из нечетных чисел,
а две – из четных. Поэтому в вершинах каждого из двух пятиугольников
должны стоять три нечетных и два четных числа. Это означает, что
число B должно быть нечетным. Но из доказанного выше равенства
X = 66 – 2B при X = 6 получаем B = 30. Противоречие.
Свободная Mатематика - сайт о математике, математиках и для математиков. Олимпиады по математике, справочники по математике, занимательная математика, школьная математика, высшая математика, история математики, математика для малышей, математический форум для учащихся и преподавателей.