1.Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырехугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.
2. Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причем в его середине?
3. На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в нее четырехугольник, и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырехугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив ее центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырехугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.
4. В треугольнике АВС: М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности. Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от сторон АВ и АС.
5. Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырехугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.
6. В тетраэдре DABC: <ACB = <ADB, (СD)^(АВС). В треугольнике АВС дана высота h, проведенная к стороне АВ, и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите длину CD.
