Точки плоскости - Олимпиады 9 класс - Олимпиадные задачи - Каталог статей

Задача:
Каждая точка плоскости покрашена в один из двух цветов так, что в любом параллелограмме с тремя одноцветными вершинами четвертая вершина того же цвета. Докажите, что все точки плоскости покрашены в один цвет.

Решение:
Допустим, на плоскости есть разноцветные точки A и B. Пусть середина C отрезка AB того же цвета (пусть белого), что и точка A. Рассмотрим любой параллелограмм ACDE. Если одна из точек D или E — белая, то другая — тоже. Но тогда в параллелограмме CBDE три вершины будут белыми, а одна — черной, противоречие. Если же все точки плоскости, не лежащие на прямой AB, черные, то у любого параллелограмма, одной из сторон которого является BC, будут три черные вершины и одна белая — снова противоречие.


Просмотров: 5638 \| Добавил: Antil (28.02.2012) \| Коментариев: 0			1 2 3 4 5

Похожий материал

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Главная | Заработать | Авторские права | Наши партнеры | Обратная связь

$Яндекс цитирования$

http://free-math.ru (с) 2010-2024 гг. Дизайн от MirPS. Хостинг от uCoz.

Свободная Mатематика - сайт о математике, математиках и для математиков.
Олимпиады по математике, справочники по математике, занимательная математика, школьная математика, высшая математика, история математики, математика для малышей, математический форум для учащихся и преподавателей.