Задача: Два игрока по очереди выписывают числа на доску. Первый пишет +1 или –1, второй дописывает +2 или –2, первый — +3 или –3 и т.д. Игрок, после хода которого сумма выписанных чисел становится по модулю не менее 2012, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?
Решение: Если первый игрок написал число 2k+1, то мы напишем –(2k+2), и наоборот. Таким образом, после нашего хода значение выражения изменится на 1.Предположим, что мы проиграли. Тогда после нашего хода впервые возникло число -2012 или +2012. Заметим, что это могло произойти не раньше, чем на 4024 ходу. Поэтому мы изменили некоторое число на число, не меньшее 4024, и получили число с модулем 2012, а, значит, число до этого было тоже по модулю не меньше 2012. Противоречие.
