На плоскости дано семейство L, состоящее из 2012 прямых, среди которых нет параллельных и пересекающихся более чем по две в одной точке. Скажем, что прямая l1 принадлежит L ограничивает другую прямую l2 принадлежит L, если все точки пересечения прямой l2 с остальными прямыми из семейства L лежат по одну сторону от прямой l1. Докажите, что в семействе L найдутся две прямые l и l' такие, что прямая l ограничивает прямую l', а прямая l' не ограничивает прямую l.
Ева хочет дать Адаму k сладких яблок. Но, кроме них, у неё есть не более 2012 кислых яблок, которые она даёт Адаму до сладких. Каждое яблоко, которое получает Адам, он может съесть или выкинуть. То, что сначала идут кислые яблоки, а потом сладкие, а также то, что кислых яблок не более 2012, а сладких ровно k, Адаму известно. Найдите наименьшее k, при котором Адам гарантированно может съесть больше сладких яблок, чем кислых.
В молодежном движении «Ихние» состоят 2012 мальчиков и 2012 девочек. Каждый из участников движения не более двух раз принимал участие в митингах в поддержку стабильности. Известно, что каждый мальчик вместе с каждой девочкой посетил, по крайней мере, один митинг. Докажите, что был митинг, в котором принимали участие хотя бы 2012 человек.
При каком наименьшем k в любой раскраске клеток таблицы 10хk в 5 цветов найдутся четыре клетки одного цвета, стоящие на пересечении двух строк и двух столбцов?
