Условие задачи: Найдите наименьшее значение функции y = 2 cos x - 2x - 5 на отрезке [-π;0].
Решение:
Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке воспользуемся производной. 1.Наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка. Найдем точки экстремума. Точки экстремума - это точки, в которых производная функции равна нулю. Найдем производную функции y = 2 cos x - 2x - 5. y´ = (2 cos x - 2x - 5)´ = (2 cos x)´ - (2x)´ - 5´ = 2(cos x)´ - 2 - 0 = 2·(-sin x) - 2 = -2 sin x - 2.
Найдем точки, в которых производная равна нулю, на отрезке [-π;0]. y´ = 0; -2 sin x - 2 = 0; -2(sin x +1) = 0; sin x + 1 = 0; sin x = -1; x = -π/2 с учетом того, что x ∈ [-π;0]. 2. Сравним значения функции в точках: x = -π; x = -π/2; x = 0. y (-π) = 2 cos (-π) - 2·(-π) - 5 = 2· (-1) +2π - 5 = -7+2π. y (-π/2) = 2 cos (-π/2) - 2·(-π/2) - 5 = 2·0 + π - 5 = π - 5. y (0) = 2 cos 0 - 2·0 - 5 = 2·1-5 = -3. -7+2π > -2, значит -7+2π > -3; π - 5 > -2, значит π - 5 > -3, отсюда наименьшее значение функции y = 2 cos x - 2x - 5 на отрезке [-π;0] равно -3.
