Условие задачи:
Окружность радиуса R касается боковой стороны AB, большего основания AD равнобокой трапеции ABCD и проходит через точку С. Окружность пересекает основание BC в точке M и боковую сторону CD в точке N. известно, что CM = CN, ∠ A = arcsin (24/25). Найти длину отрезка BM. Решение: 1. Проведем дополнительное построение: Построим трапецию, описанную около данной нам окружности так, чтобы прямыеAB1 и AD1 совпадали соответственно с прямыми AB и AD. При этом получим равнобокую трапециюAB1C1D1. При таком построении прямыеB1C1 и BC, CD и C1D1 будут параллельны соответственно. Проведем прямую, параллельную прямой BB1 через точку M и отметим точку пересенияM1 этой прямой с основанием B1C1. Тогда будут выполняться равенства: BM = B1M1, MC = M1C1. Обозначим ∠ A - α, отрезок MC - х.
2. Рассмотрим трапецию ABC1D1. AB1 = D1C1 (по свойству равнобокой трапеции). ∠B1C1D1 = π - ∠B1AD1 = π - α(так как B1C1 || AD1). KO ⊥ AD1, значит ΔAOK- прямоугольный. sin α/2 = OK/AO, cos α/2 = AK/AO, отсюда,sin α/2⋅cos α/2 = AK⋅OK/AO2; 2sin α/2⋅cos α/2 = 2AK⋅OK/AO2; sin α = 2AK⋅OK/AO2. sin α = sin (arcsin 24/25) = 24/25. (по условию задачи) OK = R (по условию задачи). Следовательно, 2AK⋅R/AO2 = 24/25; AO2 = 25AK⋅R/12. AK2+OK2=AO2 (по теореме Пифагора); Получим, AK2 + R2 = 25AK⋅R/12; 12AK2 + 12R2 = 25AK⋅R; 12AK2 - 25R⋅AK + 12R2 = 0; D = (25R)2 - 4⋅12⋅12R2 = (625 - 576)R2 = 49R2. AK = (25R±7R)/24; AK = (25R+7R)/24 = 32R/24 = 4/3R; AK = (25R - 7R)/24 = 18R/24 = 3/4R (лишнее решение, т.к. α - острый угол). Пусть AK = 4/3R. AD1 = 2AK = 8/3R. B1C1 = AD1 - 2AL; AL = B1L⋅ctg α = 2R⋅(1/sin2 α - 1)1/2 = 2R(252/242 - 1)1/2= 2R(625 - 576)1/2/24= 2⋅7R/24 = 7R/12 (B1L - высота трапецииAB1C1D1равна диаметру окружности). Значит, B1C1 = 8/3R - 7R/12 = 3R/2.
Решение:
(проверьте самостоятельно).