v Добавить материал
v Справочник по математике
v Головоломки со спичками
v Вопросы посетителям

Главная

ЕГЭ 2015

ЧАТ

ПРИМЕРЫ

RSS
МАТЕРИАЛЫ

ОГЭ 2015

ТЕСТЫ

Связь



Привет, Гость

Ваша группа: Гости
Вход на сайт | Регистрация
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Занимательная
математика
Высшая
математика
Школьная
математика
История
математики
Математика
для малышей
Реклама
Здесь может быть Ваша реклама, подробнее...

Разное

12. Выявление слагаемого, поведением которого обусловлен скачок энтропии смешения. Часть 1

Выше говорилось, что в ходе исследования формулировки парадокса Гиббса, в которой говорится о парадоксальном поведении величины энтропии смешения, прежде всего необходимо определить логические основания заключения о парадоксальном скачке энтропии смешения, а для начала — вывести формулу для энтропии смешения, выражающую эту величину через параметры смешиваемых газов.

Чтобы получить наиболее общую формулу, примем, что до смешения газы могут иметь различные температуры, давления и объемы.

При смешении двух различных идеальных газов образуется бинарная смесь. Если температуры газов до смешения равны T1 и T2, то после смешения температуры компонентов смеси равны температуре смеси Тс, которую можно определить на основе формулы Рихмана:

Тс= (n1cv1T1+n2cv2T2)/(n1cv1+n2cv2). (21)

Для этого случая (с учетом того, что объем смеси равен V1+V2) из (8), (14), (15) можно получить:

SI = Sсп = n1cv1lnT1 + n2cv2lnT2 +

+ n1Rln(V1/n1) + n2Rln(V2/n2) + n1Sоv1 + n2Sоv2, (22)

SII = Sс = (n1cv1+n2cv2)lnTc + R[n1ln(V1+V2)/n1+ n2ln(V1+V2)/n2] + n1Sоv1+n2Sоv2. (23)

Преобразуем формулу (23):

Sс = (n1cv1+n2cv2)lnTc+R(n1+n2)ln[(V1+V2)/(n1+n2)] +Lх+ n1Sоv1+n2Sоv2, (24)

где Lх=-R(n1+n2){[n1/(n1+n2)]ln[n1/(n1+n2)]+[n2/(n1+n2)]ln[n2/(n1+n2)]}. (25)

Если определить:

xi = ni/(n1+n2), (26)

где xi — мольная доля в смеси i-го газа, то формула (25) примет вид:

Lх = -R(n1+n2)(x1lnx1 + x2lnx2). (27)

Из (3), (21) — (24) следует:

ΔSс={(n1cv1+n2cv2)ln[(n1cv1T1+n2cv2T2)/(n1cv1+n2cv2)]-n1cv1lnT1n2cv2lnT2)}+

+{R(n1+n2)ln[(V1+V2)/(n1+n2)] — R[n1ln(V1/n1)+n2ln(V2/n2)]} + Lх (28)

При смешении двух порций газа 1 образуется чистый газ 1. Для этого случая, если начальные параметры порций газа равны, соответственно, T1, V1 и T2, V2, а количества газа в порциях n1 и n2, из (3), (8), (14), (21) следует:

SI=Sсп=cv1(n1lnT1+n2lnT2) +R[n1ln(V1/n1)+n2ln(V2/n2)]+(n1+n2)Sоv1, (29)

SII = cv1(n1+n2)ln[(n1T1+n2T2)/(n1+n2)] +(n1+n2)Rln[(V1+V2)/(n1+n2)]+(n1+n2)Sоv1 (30)

ΔSf = {cv1(n1+n2)ln[(n1T1+n2T2)/(n1+n2)] — cv1(n1lnT1+n2lnT2)} +

+{R(n1+n2)ln[(V1+V2)/(n1+n2)] — R[(n1ln(V1/n1)+n2ln(V2/n2)]}, (31)

где ΔSf — изменение энтропии при смешении тождественных газов.

Как и следовало ожидать, в формулах (22) — (24), (28) (с учетом (25)) и (29) — (31) нет ничего такого, чего не было бы в формулах (3), (8), (14), (15), (21). Поскольку в формулах (28) и (31) имеются члены, зависящие от cvi и начальной температуры газов, а cvi определяется природой газа, величина энтропии смешения как различных, так и тождественных газов в общем случае зависит от природы газа. В силу очевидных особенностей формул (3), (8), (14), (15), формулы (28) и (31) не содержат членов, зависящих от Sоvi, а энтропия смешения как различных, так и тождественных газов не зависит от параметров Sоv1 и Sоv2 (подобно величине ΔSi, которая выражается формулой (12)).

Обращаем внимание на то, что величина изменения энтропии при смешении тождественных идеальных газов в общем случае не равна нулю.

Если смешиваемые газы имеют одинаковые начальные температуры, то величины ΔSс и ΔSf не зависят от природы газа, поскольку зависящие от cvi слагаемые в ΔSс и ΔSf обращаются в нуль. Если, как это обычно делается при рассмотрении парадокса Гиббса, принять, что у смешиваемых газов равны не только начальные температуры, но и давления (а, значит, как это следует из (5), равны и величины Vi/ni), то из (28) следует:

ΔSc = Lx. (32)

Если, кроме того, n1 = n2 = 1, то

ΔSc = 2Rln2. (33)

При условии равенства начальных температур и давлений для случая смешения тождественных газов из (31) следует:

ΔSf = 0. (34)

Результаты, аналогичные тем, которые выражаются формулами (22) — (24) и (29) — (31), можно получить в том случае, если вместо формулы (8) использовать формулу (9). Мы не будем их здесь приводить. Укажем только, что при использовании формулы (9) энтропия смеси выражается формулой:

Sс = (n1cv1+n2cv2)lnTc — R(n1+n2)lnpс + Lх+ n1Sоp1+n2Sоp2, (35)

а энтропия компонента смеси формулой:

Si = ni(cpilnTc — Rlnpс + Sоpi) — niRlnxi. (36)

Теперь приступим к исследованию поведения энтропии смешения при переходе от различных к тождественным газам.

Предположим, что переход от смешения различных к смешению тождественных газов происходит путем перехода (превращения) газа 2 в газ 1, т.е. переходом от смешения газов 1 и 2 к смешению двух порций газа 1. При таком условии значение энтропии смешения изменяется от ΔSс, выражаемого формулой (28), до ΔSf, выражаемого формулой (31). Рассмотрим, что происходит при этом с различными слагаемыми формулы (28).

В формулах (28) и (31) фигурными скобками выделено по два слагаемых. Первое такое слагаемое в формуле (28) зависит от теплоемкостей и начальных температур газов. При переходе к тождественным газам это слагаемое изменяется скачком только в том случае, если параметр cv2 переходит в параметр cv1 со скачком. В случае смешения различных газов с равными значениями мольных теплоемкостей это слагаемое при переходе от различных газов к тождественным не изменяется. Если в формуле (28) положить cv2 равным cv1, получим первое слагаемое формулы (31). Можно заключить, что особенности поведения этого слагаемого определяется особенностями поведения параметра cv2 и особенностями формулы (28), не имеют ничего парадоксального и не имеют никакого отношения к парадоксальному скачку энтропии смешения.

Особенности поведения второго слагаемого в фигурных скобках формул (28) и (31) тоже не имеют отношения к парадоксу Гиббса. Это слагаемое является функцией числа молей и начальных объемов газов, не зависит от свойств газов и при переходе от смешения различных к смешению тождественных газов не изменяется.



назад | содержание | скачать | дальше


Просмотров: 5182 | Добавил: Antil (16.01.2012) | Автор: В.Н.Игнатович | Коментариев: 0

Похожий материал

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Главная | Заработать | Авторские права | Наши партнеры | Обратная связь
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика
http://free-math.ru (с) 2010-2024 гг. Дизайн от MirPS. Хостинг от uCoz.
Свободная Mатематика - сайт о математике, математиках и для математиков.
Олимпиады по математике, справочники по математике, занимательная математика, школьная математика, высшая математика, история математики, математика для малышей, математический форум для учащихся и преподавателей.