Подведем итоги нашего исследования парадокса Гиббса.

Учитывая существование множества решений парадокса Гиббса, а также споры по поводу того, какая формулировка является правильной и в чем должно заключаться решение, автор предпринял анализ литературы и выявил две основные формулировки парадокса Гиббса. В одной речь шла о неоднозначности определения энтропии смешения тождественных идеальных газов, в другой — о парадоксальном скачке энтропии смешения идеальных газов при переходе от смешения различных к смешению тождественных газов.

Чтобы разрешить парадокс в первой формулировке, автор проанализировал рассуждения, в которых в рамках классической термодинамики получают заключение о величине энтропии смешения идеальных газов и показал, что неоднозначность возникает из-за того, что вычисление изменения энтропии при смешении тождественных идеальных газов подменяют необоснованными утверждениями о величине этого изменения.

На основе анализа литературы автор выявил множество мнений относительно причин парадоксального скачка энтропии смешения и возможных методов решения парадокса в этой формулировке. Чтобы иметь возможность обсуждать эти различные точки зрения, автор в качестве исходного пункта анализа выставил положение, логически совместимое со всеми точками зрения на парадокс Гиббса: утверждение о существовании скачка энтропии смешения при переходе от смешения различных к смешению тождественных газов получено не на основе обработки эмпирических данных, а теоретически, путем рассуждений.

Из этого положения следовало, что на первом этапе анализа парадокса Гиббса необходимо установить логические основания заключения о парадоксальном скачке. Причем установить их можно было однозначно, поскольку в парадоксе Гиббса фигурируют абстрактные объекты — идеальные газы, а парадоксальный скачок испытывает функция многих переменных, для которой можно вывести формулу.

Получив ряд формул и проанализировав соответствующие рассуждения, автор показал, что появление заключений о скачке энтропии смешения при переходе от смешения различных к смешению тождественных газов и о независимости величины этого скачка от свойств смешиваемых газов в классической термодинамике обусловлено тем, что в этой теории: (I) формулы для энтропии чистого идеального газа содержат слагаемое вида Rnlnn; (II) энтропия смеси идеальных газов равна сумме энтропий компонентов; (III) энтропия системы, состоящей из разделенных непроницаемыми перегородками подсистем, равна сумме энтропий подсистем; (IV) смесь тождественных идеальных газов необходимо считать чистым газом, у которого мольная доля основного вещества равна 1.

Из проведенного анализа также следовало, что вопреки широко распространенному мнению, при получении заключения о скачке энтропии смешения посылка о существовании дискретных различий между параметрами смешиваемых газов не используется. Из проведенного анализа следовало также заключение, что парадокс Гиббса, сформулированный в рамках классической термодинамики как результат определенных рассуждений, должен объясняться в рамках этой теории. Привлечение положений статистической термодинамики, квантовой механики, теории информации для объяснения вывода о скачке энтропии смешения, полученного в рамках классической термодинамики, так же непригодно, как привлечение понятия молекулы для объяснения «уравнения» 1+1=1, полученного в рамках арифметики. Парадокс Гиббса, получаемый в рамках статистической термодинамики, квантовой механики, теории информации необходимо объяснять в рамках соответствующих теорий.

Основываясь на полученных результатах, автор проанализировал ряд рассуждений, авторы которых утверждали, будто им удалось устранить парадоксальный скачок энтропии смешения, и показал, что «устранение» заключение о скачке энтропии смешения при переходе от смешения различных к смешению тождественных идеальных газов достигается благодаря логически некорректному приписыванию чистым газам специфических свойств смесей — переменности и отличия от 1 мольной доли основного вещества.

Поскольку в парадоксе Гиббса фигурируют абсолютные значения энтропии термодинамических систем, включающих идеальные газы и смеси идеальных газов, а абсолютные значения энтропии термодинамических систем в рамках классической термодинамики получают на основе третьего закона термодинамики, автор исследовал поведение энтропии смешения рассчитанной на основе третьего закона термодинамики и пришел к заключению, что в этом случае энтропия смеси не имеет пара- доксальных особенностей поведения. Соответственно, парадокс Гиббса можно устранить в рамках классической термодинамики, если при определении энтропии идеальных газов и их смесей исходить из третьего закона термодинамики.

Проанализировав ряд формул, автор заключил, что так называемая теорема Гиббса, согласно которой энтропия смеси идеальных газов равна сумме энтропий компонентов смеси, противоречит формулам, полученным на основе третьего закона термодинамики. Анализ известных «доказательств» этой теоремы показал, что все они являются ошибочными, из чего можно было заключить, что эта так называемая теорема является аксиомой — определением энтропии смеси идеальных газов.

Некорректность отождествления суммы энтропий компонентов смеси и энтропии смеси и породила ряд формулировок парадокса Гиббса. В одном случае возникает противоречие при определении энтропии чистого идеального газа: значение этой функции зависит от того, рассматривается газ как чистый газ или как смесь тождественных газов. Если это противоречие устранить путем запрета рассматривать чистый газ как смесь тождественных газов, появляется неразрешимая проблема физического обоснования этого запрета — обоснования неприменимости теоремы Гиббса к смеси тождественных газов, над которой множество авторов бились не одно десятилетие.

Устранение теоремы Гиббса из классической термодинамики не должно вызвать особых проблем, поскольку в практических расчетах можно использовать сумму энтропий компонентов смеси идеальных газов, не называя ее энтропией смеси.

Нужно заметить, что термодинамика создавалась в то время, когда даже в математике не соблюдались современные требования к математической строгости, сложившиеся только к концу XIX века [34, с.66], и в ней имеется довольно много логических неувязок, с которыми мирятся десятилетиями (вроде той, когда утверждают о возрастании энтропии в каком-то случае, не удосужившись доказать ее существование (см. [27; 28, с.390-399])). Учитывая изложенное в настоящей монографии, а также в статье Т. А. Афанасьевой-Эренфест [1], монографиях А. А. Гухмана [23], В. А. Эткина [64] и других исследователей, следует признать очень перспективным критический анализ оснований термодинамики. Принять участие в этом могли бы и математики.