На окружности отмечено 2010 точек,разделяющих ее на 2010 дуг, из которых третья часть имеют длину 1, еще треть - длину 2, а оставшиеся - длину 3. Докажите,что среди отмеченных точек найдутся две диаметрально противоположные.
Возьмём вариант, когда все отрезки длины 1 идут друг за другом, длины 2 тоже идут друг за другом, длины 3 идут друг за другом, тогда получается 3 большие доли 1/6, 2/6, 3/6. Т.к. частей только 3 значит как бы доли не стояли относительно друг друга, всегда доля 1/6 будет рядом с долей 2/6 и они вместе будут напротив доли 3/6. Следовательно будут диаметрально противоположные точки на месте стыков долей 1/6 и 2/6 с долью 3/6 .
Рассмотрим произвольную точку окружности, рассмотрим пока что мнимую точку, диаметрально противоположную ей. От этой мнимой точки на перемещении 1, двигаясь по окружности в ту или иную сторону обязательно окажется точка (если нет - перемещение по окружности между ближайшими точками справа и слева от мнимой > 3 - не верно). Значит, перемещение между действительными точками справа и слева от мнимой = 2 или = 3. Такая ситуация для каждой из 2010 точек (так же рассматриваем её и соответствующую ей мнимую точку), следовательно, перемещения между точками только 2 или 3, чего быть не может из условия, значит найдётся по крайней мере одна из "мнимых" точек, не являющейся таковой)
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ]
