Задача: В молодежном движении «Ихние» состоят 2012 мальчиков и 2012 девочек. Каждый из участников движения не более ста раз принимал участие в митингах в поддержку стабильности. Известно, что каждый мальчик вместе с каждой девочкой посетил по крайней мере один митинг. Докажите, что был митинг, в котором принимали участие хотя бы 11 мальчиков и 11 девочек.
Решение: Назовем участие мальчика и девочки в одном митинге их встречей. Назовем митинг женским, если девочек в нем участвует больше, чем мальчиков. Остальные митинги назовем мужскими. Пусть утверждение задачи неверно. Тогда в каждом женском митинге участвовало не больше 10 мальчиков, а в каждом мужском — не больше 10 девочек. Пусть на женских митингах каждая девочка даст каждому мальчику по значку, а на мужских — наоборот. Поскольку каждая девочка участвовала не более, чем в 100 женских митингах и на каждом таком митинге раздала не больше 10 значков, мальчики получат от девочек в сумме не более 1000*2012 значков. Аналогично, все девочки получат от мальчиков в сумме не более 1000*2012 значков. Всего будет роздано не более 2000*2012 значков. Но число розданных значков, очевидно, равно числу встреч, а оно по условию не меньше, чем 20122. Противоречие.
