Задача: Вася взял десять различных натуральных чисел. Затем он выписал на доску всевозможные суммы нескольких из этих чисел (из одного слагаемого, из двух слагаемых, из трех слагаемых, ... из десяти слагаемых). Всего Вася выписал 1023 числа (среди которых могли быть и равные). Могло ли среди выписанных чисел оказаться хотя бы 520 простых чисел?
Решение: Если все взятые числа четны, четны и все числа, выписанные на доске. Поскольку все взятые Васей натуральные числа различны, среди выписанных сумм — не более одной двойки. Поэтому в этом случае среди произвольных 520 сумм хотя бы 519 — составные числа. Пусть среди взятых чисел есть нечетное число k. Разобьем все суммы (включая пустую, которую мы положим равной 0) на пары, где в каждой паре одна из сумм содержит слагаемое k, другая — не содержит, а остальные слагаемые в этих сумма одинаковы. Тогда в каждой паре одна из сумм четна, а другая — нечетна, и потому ровно половина выписанных сумм четна. Следовательно, в этом случае среди произвольных 520 сумм есть хотя бы 8 четных, среди которых хотя бы 6 (исключая нуль и, возможно, двойку) — составные числа.
