v Добавить материал
v Справочник по математике
v Головоломки со спичками
v Вопросы посетителям

Главная

ЕГЭ 2015

ЧАТ

ПРИМЕРЫ

RSS
МАТЕРИАЛЫ

ОГЭ 2015

ТЕСТЫ

Связь



Привет, Гость

Ваша группа: Гости
Вход на сайт | Регистрация
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Занимательная
математика
Высшая
математика
Школьная
математика
История
математики
Математика
для малышей
Реклама
Здесь может быть Ваша реклама, подробнее...

Разное

Задача ГИА. Треугольник 5, 12, 13

Задача:
Дан треугольник со сторонами 5, 12 , 13. Точка О лежит на большей стороне треугольника и является центром окружности, касающейся двух других сторон, найдите радиус окружности.

Решение:
Нарисуем рисунок: AC=5, AB=12, CB=13.



Заметим, что этот треугольник является прямоугольным, по обратной теореме Пифагора, т.к. выполняется равенство:
169 = 144 + 25
На CB находится точка О, которая является центром окружности. Эта окружность касается AC и AB в точках E и D соответственно. Проведем радиусы OE и OD. Эти отрезки будут перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника, т.к. перпендикуляры к касательной проходящие через точку касания, проходят через цент окружности. Обозначим радиус окружности за x.

Далее, заметим, что ADOE - квадрат, т.к. три угла в нем = 90o и две смежные стороны радиусы, т.е. равны. Значит,
OE = OD = AE = AD = x.
CE = 5 - x
DB = 12 - x
Обозначим CO = a.
OB = 13 - a.

По теореме Пифагора у треугольника CEO:
CO2 = CE2 + EO2
a2 = (5-x)2 + x2

По теореме Пифагора у треугольника DOB:
OB2 = OD2 + DB2
(13 - a)2 = x2 + (12 - x)2

a2 = 25 - 10x + 2x2 (Выражение №1)
169 - 26a + a2 = 144 - 24x + 2x2 (Вырадение №2)

Подставим во второе выражение вместо a2, первое выражение.

25 - 26a + (25 - 10x + 2x2) = -24x + 2x2
50 - 26a -10x = -24x
-26a = -14x - 50 (умножим на -0,5)
13a = 7x + 25
a = (7x+25)/13

Подставим полученное a в первое выражение и умножим все выражение на 169.
(7x+25)2 = 4225 - 1690x + 338x2
49x2 + 350x + 625 = 4225 - 1690x + 338x2
289x2 - 2040x - 3600 = 0
D = 4141600 - 4141600 = 0
x = 2040/578 = 1020/289 = 60/17 = 3 целых 9/17
За х мы обозначали радиус окружности, значит, ответ будет 3 целых 9/17

Ответ: 3 целых 9/17

Просмотров: 10535 | Добавил: Antil (07.02.2012) | Коментариев: 2

Похожий материал

1 впупк   (04.10.2012 09:23)
У Вас кривое решение задачи))). Два прямоугольных треугольника подобны, поэтому 12/5=(12-r)/r. Получается линейное уравнение, и как видите оно легко решается)

2 psolovev   (04.10.2012 20:20)
Да, Вы правы, решение можно раз 20 упростить: Заметим, что треугольники ABC и DBO подобны, по трем углам, тогда
12/(12-r)=5/r
60-5r=12r
17r=60
r=60/17 т.е. ответ 3 целых 9/17

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Главная | Заработать | Авторские права | Наши партнеры | Обратная связь
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика
http://free-math.ru (с) 2010-2019 гг. Дизайн от MirPS. Хостинг от uCoz.
Свободная Mатематика - сайт о математике, математиках и для математиков.
Олимпиады по математике, справочники по математике, занимательная математика, школьная математика, высшая математика, история математики, математика для малышей, математический форум для учащихся и преподавателей.