Задача:
Дан треугольник со сторонами 5, 12 , 13. Точка О лежит на большей стороне треугольника и является центром окружности, касающейся двух других сторон, найдите радиус окружности.
Решение:
Нарисуем рисунок: AC=5, AB=12, CB=13.
Заметим, что этот треугольник является прямоугольным, по обратной теореме Пифагора, т.к. выполняется равенство:
169 = 144 + 25
На CB находится точка О, которая является центром окружности. Эта окружность касается AC и AB в точках E и D соответственно. Проведем радиусы OE и OD. Эти отрезки будут перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника, т.к. перпендикуляры к касательной проходящие через точку касания, проходят через цент окружности. Обозначим радиус окружности за x.
Далее, заметим, что ADOE - квадрат, т.к. три угла в нем = 90o и две смежные стороны радиусы, т.е. равны. Значит, OE = OD = AE = AD = x. CE = 5 - x DB = 12 - x
Обозначим CO = a. OB = 13 - a.
По теореме Пифагора у треугольника CEO: CO2 = CE2 + EO2 a2 = (5-x)2 + x2
По теореме Пифагора у треугольника DOB: OB2 = OD2 + DB2
(13 - a)2 = x2 + (12 - x)2
Подставим полученное a в первое выражение и умножим все выражение на 169.
(7x+25)2 = 4225 - 1690x + 338x2
49x2 + 350x + 625 = 4225 - 1690x + 338x2
289x2 - 2040x - 3600 = 0 D = 4141600 - 4141600 = 0 x = 2040/578 = 1020/289 = 60/17 = 3 целых 9/17
За х мы обозначали радиус окружности, значит, ответ будет 3 целых 9/17
У Вас кривое решение задачи))). Два прямоугольных треугольника подобны, поэтому 12/5=(12-r)/r. Получается линейное уравнение, и как видите оно легко решается)
Да, Вы правы, решение можно раз 20 упростить: Заметим, что треугольники ABC и DBO подобны, по трем углам, тогда 12/(12-r)=5/r 60-5r=12r 17r=60 r=60/17 т.е. ответ 3 целых 9/17
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ]
