Задание:
Ученик должен был умножить двузначное число на трехзначное и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял записанные рядом двузначное и трехзначное числа за одно пятизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в три раза больше истинного. Найдите все три числа.
Решение:
Пусть двузначное число - x, трехзначное - y, пятизначное - z.
По условию,
(1000x+y)/z = 3xy/z, то есть
1000x + y = 3*x*y
Раз правая часть этого равенства делится на x, то и левая должна делиться на x, то есть
y = k*x, где k - натуральное число.
1000x + kx = 3*k*x2
1000 + k = 3*k*x
x = (1000+k)/3k
По условию, 10<=x<=99
(1000+k)/3k >= 10
29k <= 1000
k < 35
(1000+k)/3k <= 99
296k >= 1000
k > 3
И еще нам известно, что 1000+k = 3*k*x, то есть (1000+k) делится на 3. Таких чисел между 3 и 35 десять штук:
5,8,11,14,17,20,23,26,29,32
Нам нужно найти среди них такие, что (1000+k) делится на k.
Таких вариантов три:
1. k = 5, x = 67, y = 335
xy = 22445, и это единственное пятизначное число, на которое нацело делится и 22445, и 67335.
2. k = 8, x = 42, y = 336
xy = 14113, и это также единственное пятизначное число, на которое нацело делится и 14113, и 42336.
k = 20, x = 17, y = 340
xy = 5780, что противоречит условию.
Таким образом, у нас имеется два варианта: 67, 335 и 22445; 42, 336 и 14113
