Задача:
Найдите наибольшее n такое, что сумма четвертых степеней любых n простых чисел больших 10, делится на n.
Решение:
Нетрудно проверить, что четвёртая степень любого простого числа, большего 10, дает остатки 1 при делении на 3, 5 и 16. Поэтому сумма любых 240 четвертых степеней простых чисел, больших 10, делится на 3, 5 и 16, а, поскольку эти числа попарно взаимно просты, и на их произведение 240. С другой стороны, если в наборе из n простых чисел заменим 11 на 13, сумма четвертых степеней этих чисел увеличится на 240*78, а если затем 13 заменим на 17, сумма четвертых степеней увеличится на 240*229. Поскольку числа 229 и 78 взаимно просты, всякое n, удовлетворяющее условию задачи, должно быть делителем числа 240, что и завершает доказательство.
