Задача Жозефа Луи Бертрана, опубликованная впервые в 1889 году:
С какой вероятностью сторона вписанного в окружность правильного треугольника окажется меньше случайно выбранной хорды в этой окружности?
Эту задачу часто называют парадоксом Бертрана, потому что есть как минимум три способа её решения, дающих разные ответы.
Прежде чем смотреть решение задачи, предлагаю Вам для начала попробовать самим решить ее. Задача не сложная, нужно найти лишь правильный подход к ней.
1) Любая точка круга (кроме центральной) однозначно задаёт хорду, серединой которой является. И эта хорда окажется длиннее стороны нашего правильного треугольника тогда и только тогда, когда её середина лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус этого круга равен половине радиуса исходной окружности. Это значит, что площадь маленького круга в четыре раза меньше площади большого. Поэтому вероятность того, что случайная точка окажется внутри вписанного круга, равна 1/4. Другими словами, ответ 1/4.
2) Мы всегда можем так «довернуть» воображаемый вписанный треугольник, чтобы одна из его вершин совпала с одним из концов хорды. Соответственно, координаты второго конца хорды однозначно задают всю хорду. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, поэтому второй конец хорды с равными вероятностями попадает на каждую из них. Но хорда оказывается длиннее стороны треугольника только в том случае, если пересекает его сторону (т.е. ровно в одном случае из трёх). Получается, что хорда окажется длиннее стороны треугольника в 1/3 случаев.
3) Хорду в окружности можно однозначно задать точкой на радиусе, если проводить её через выбранную точку и перпендикулярно этому радиусу. Какой из радиусов брать? Годится любой вектор из центра до окружности, так как при повороте конструкции ничего не поменяется. Тогда получается, что случайная хорда длиннее стороны вписанного треугольника, если случайная точка радиуса попадёт на ту половину радиуса, которая ближе к центру окружности. Выходит, ровно в половине случаев случайная хорда будет больше стороны вписанного треугольника.
Итого, три разные подхода, три разные решения и три разные ответа. На первый взгляд все правильные, но в реальности такого не может быть. Давайте попробуем найти ошибки в решениях. Свои доводы пишите в комментариях.
Чертеж по 1-му варианту для произвольно проведенной хорды всегда можно привести к чертежу по 3-му варианту, необходимо только так развернуть треугольник, чтобы одна из его сторон стала параллельно хорде. Причем здесь площадь, мне не понятно. Нужно определиться, что считать хордой практически, для решения конкретной задачи. Естественно, количество их безгранично, поэтому нужно принять условие, например, такое: хорда должна опираться концами на дугу окружности, содержащей целое числу градусов. Этому условию соответствует вариант №2, в котором вторые концы хорд опираются на дуги в отношении 2:1, т.е. коротких хорд в 2 раза больше. В 3-м варианте деление радиуса на равные интервалы между хордами считаю некорректным, т.к. в этом случае концы хорд опираются на дуги разной длины. Ответ:коротких хорд в 2 раза больше.
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ]
