Просто́е число́ — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, бо́льшие единицы, разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.
Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы (>1), представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом. Таким образом, простые числа — «кирпичики» натуральных чисел.
Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует.
Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Доказательство:
Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 231 − 1 = 2147483647
Наибольшим известным простым числом по состоянию на июнь 2009 года является 243112609 − 1. Оно содержит 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна
