Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений.
СОДЕРЖАНИЕ 1.1. Задачи вида a * x v b 1.2. Задачи вида a * x2 + b * x + c v 0 1.3. Сведение задачи к задаче вида a * x v b или a * x2 + b * x + c v 0 ● задачи, содержащие целые рациональные выражения высшей степени ● задачи, содержащие дробно-рациональные выражения ● задачи, содержащие выражения с модулями ● задачи, содержащие иррациональные выражения ● задачи, содержащие показательные выражения ● задачи, содержащие логарифмические выражения ● задачи, содержащие тригонометрические выражения 1.4. Метод замены ● введение одной новой переменной ● введение двух новых переменных ● тригонометрическая подстановка 1.5. Выявление необходимых условий ● выбор подходящего значения параметра или переменной ● инвариантность 2. Функциональные методы решения 2.1. Использование непрерывности функции ● метод интервалов ● метод рационализации 2.2. Использование ограниченности функции ● метод оценки ● неотрицательность функции ● наибольшее и наименьшее значение функции 2.3. Использование монотонности функции ● монотонность функции на множестве R ● монотонность функции на промежутке ● функции разной монотонности ● задачи вида f ( f (x)) v x 2.4. Использование производной функции 3. Функционально-графические методы решения 3.1. Координатная плоскость хОу ● задачи вида f (x) v a ● задачи вида f (x) v g(x) + a ● задачи вида f (x) v g(x + a) ● задачи вида f (x) v a(x - x0) + y0 ● задачи вида f (x) v ag(x) ● задачи общего вида f (a, x) v 0 ● задачи общего вида f (a; x) v g(a; x) 3.2. Координатные плоскости аОх или хОа ● задачи вида a v y(x) или x v u(a) ● задачи вида f (a, x) v 0 4. Геометрические методы решения Упражнения Ответы и указания
Введение Среди множества задач с параметрами выделим один класс задач, связанный с количеством решений уравнения (неравенства), системы уравнений (неравенств). Задачи такого вида обычно формулируют в следующем виде: найти все значения параметра (параметров), при которых уравнение (неравенство, система) имеет конечное множество решений (ровно одно, ровно два и т.д.), бесконечное множество решений (интервал, отрезок, луч, прямая, часть плоскости – область), не имеет решений. В пособии рассмотрены основные подходы к решению задач с параметрами: алгебраический, функциональный, функционально-графический и геометрический.
Алгебраические методы
В данном разделе задачи (уравнения, неравенства, системы) классифицированы по их виду. Здесь рассмотрены такие методы: метод сведения задачи к равносильной, перебор различных значений параметра, замена переменной, выявление необходимых и достаточных условий или необходимых условий.
14987
0
